¿La gravedad determina la densidad de la atmósfera de un planeta?

 

Cómo la gravedad determina la densidad de la atmósfera en la superficie de un planeta

La ecuación de equilibrio hidrostático para una atmósfera en equilibrio, viene dada por la variación de presión con la altura y satisface la relación:

    dP/dh = -ρ g                                                                  Ecuación 1

donde:
- P(h) es la presión a altura h,
- ρ(h) es la densidad del gas,
- g la gravedad (aproximadamente constante cerca de la superficie).

Por otro lado, el gas contenido por la atmósfera se puede aproximar con la ecuación de estado para un gas ideal:

    P = ρ (R T / M)                                                              Ecuación 2

donde:
- R es la constante universal de los gases,
- M es la masa molar del gas,
- T es la temperatura (suponemos isoterma para simplificar).
Al despejar en esta ecuación la densidad del gas vemos que

    ρ = (M / RT) P                                                               Ecuación 3

Si ahora hacemos la suposición (sabemos que no es real, pero a los efectos de simplificar las operaciones para llegar a alguna conclusión primaria) de que dicha atmósfera es isoterma (temperatura constante) e integramos la primera ecuación, sustituyendo allí la densidad ρ por su expresión, ecuación 3, tenemos, sustituyendo en el equilibrio hidrostático:

    dP/dh = - (M / RT) P g                                                Ecuación 4

E integrando:

    P(h) = P0 exp(-Mg h / RT)                                         Ecuación 5

y por ende:

    ρ(h) = ρ₀ exp(-Mg h / RT)                                          Ecuación 6

 ¿Cómo depende entonces la densidad superficial ρ₀ de g?
La forma de la dependencia exponencial muestra que:
- El gradiente de caída con la altura sí depende de g: a mayor gravedad, más rápido cae la densidad con la altura (atmósfera más comprimida, escala de altura H = RT / (Mg) más pequeña).
- Pero el valor de la densidad a nivel de superficie ρ₀ no está fijado solo por g. Depende de la presión superficial P₀, que a su vez depende de la cantidad total de gas retenido por el planeta.
Si asumimos que el planeta tiene una cierta columna de aire con presión

P₀ = ρ g h

(para una altura efectiva h), entonces a igualdad de masa de gas retenida:
    P₀ ∝ g
y, como
    ρ₀ = (M / RT) P₀,
tendríamos
    ρ₀ ∝ g
En conclusión
- La densidad superficial ρ₀ es proporcional a la gravedad g si la masa total de la atmósfera (o la columna de gas) se mantiene fija.
- En la práctica, ρ₀ depende de cuánta atmósfera retuvo el planeta (masa de gas disponible, vulcanismo, escape atmosférico, etc.), no sólo de g.
- Lo que sí es seguro: un g mayor hace que la atmósfera se comprima más cerca de la superficie (menor escala de altura, o sea, aumenta la velocidad de decrecimiento de la densidad atmosférica con la altura).