¿Importa cuánto sea de compacto un cuerpo? Para las estrellas sí. Compacidad

 

Qué tan compactos son los agujeros negros

Cuando pensamos en algo compacto solemos relacionarlo con la densidad, pero si bien hay cierta relación entre ambos, no necesariamente esta es directa en cuanto a que para calcular qué tan compacto es un objeto, haya que multiplicar la densidad por algún número. No, no es así. Sin embargo, la noción de lo compacto sí tiene que ver con qué tan juntas están las partes que componen el objeto. Así, un cuerpo con sus partes muy cercanas entre sí es más compacto que otro cuerpo cuyas partes componentes no están tan cercanas. De esa forma, solemos confundirnos y pensar que un gas es menos compacto que un líquido, un líquido es menos compacto que un sólido, cosas que muchas veces son ciertas, pero que no son “reglas”, o leyes físicas, pues no se cumplen en algunos casos. Asimismo, no es el carácter de qué tan compacto sea algún material para determinar su “estado de agregación”, que es eso de lo que hablamos cuando distinguimos entre gases, líquidos y sólidos.

Los científicos suelen sobre simplificar las situaciones para entenderlas, y con respecto a qué tan compacto es algo, no fue la excepción. Así, primero imaginaron un cuerpo esférico y cuya densidad fuese uniforme y a partir de ahí pensaron en el cuerpo como compuesto por una miríada de diminutas masas elementales que estuvieran pegadas entre sí de alguna manera, por ejemplo, por medio de fuerzas como las gravitatorias. De esa forma pensaron en que si tengo una esfera de determinada masa M y radio R, si la comparo con otra esfera de igual masa M, pero radio R’ más grande, claramente diré que la primera esfera es más “compacta” que la segunda, dado que a igual masa tiene menos radio. Así, claramente lo compacto de un cuerpo, llamémosle a esta característica “compacidad”, representada por la letra u, dependerá proporcionalmente de la masa e inversamente proporcional a su radio, o sea,

u≈M/R

Esta es la idea de la compacidad. Luego, los astrónomos debían darle un carácter más riguroso, medible, y llamaron compacidad a la cantidad

u=GM/Rc²

que es adimensional, o sea, un número sin unidades que indica qué tan compacto es un objeto celeste.

Como sabemos, los agujeros negros son aquellos objetos cuya masa está tan concentrada que genera un campo gravitatorio tan enorme que no permite que ni siquiera la luz pueda salir de él. De hecho, la única solución analítica de la ecuación de campo de la Relatividad General es la que obtuvo Karl Schwarzchild apenas un año después de publicada la teoría de Einstein. Schwarzchild resolvió el tensor de campo G_μν para el caso específico de un espacio vacío, isótropo y homogéneo en el cual existiera una única masa M que generaría un campo gravitatorio (o sea, que deformaría el espacio-tiempo) de una forma que calcuó y se llama métrica de Schwarzchild. Esta métrica nos indica cómo se calcula la distancia entre dos puntos muy próximos (del espacio-tiempo), ds, y es esta distancia la que depende de los coeficientes de “transformación” del espacio-tiempo pseudo-euclidiano en el espacio-tiempo “deformado” por la masa M. Esta métrica es

ds² = -(1 - 2GM/rc²)c²dt² + (1 - 2GM/rc²)^-1dr² + r²dθ² + r²sin²θ dφ²

Aquí, las coordenadas del espacio-tiempo son t, r, ϑ y φ, dado que es más conveniente utilizar un sistema de coordenadas esféricas, que uno de coordenadas cartesianas, pues la simetría de la situación planteada es esférica. Así, t representa la coordenadas temporal, r la coordenada radial, ϑ, un ángulo (con respecto a lo que sería un plano x,z) y φ el ángulo acimutal, o sea con respecto a lo que sería el eje z. Con semejantes coordenadas, Schwarzchild obtuvo la solución de los coeficientes de transformación mostrados más arriba.

Sin embargo, sin entrar en ningún detalle de cálculo, es posible observar que la coordenada radial (o sea, la distancia desde el origen del sistema de coordenadas, lugar donde se encuentra la masa M, hasta un punto cualquiera del espacio) no existe para cualesquiera circunstancias, y esto es sorprendente. Resulta que si observamos la distancia radial entre dos puntos muy cercanos entre sí, nos encontramos con que esta distancia incluye el factor

(1 - 2GM/rc²)^-1.

Este factor implica que, cuando

2GM/rc²=1

La coordenada radial no existe. Dicho en buen romance, toda la métrica se viene abajo, o sea, la Teoría de la Relatividad General no es aplicable. Esa condición implica algo, desde el punto de vista relativista, no físico. Sin embargo, es posible escarbar un poquito más para intentar entender qué nos está diciendo esta igualdad. Despejemos el radio r, o sea la distancia al centro de la masa M que produce la deformación del espacio-tiempo de acuerdo con la métrica dada arriba.

r=2GM/c².

¿Qué nos está relatando esta igualdad? Nos está diciendo que, a partir de esta r, para valores menores, no existe la cantidad dr, pues es una cantidad imaginaria, no real (los números imaginarios son aquellos que se calculan multiplicando una cantidad real por la raíz cuadrada de -1). En consecuencia para todos los valores

r<2GM/c²

no existe la “distancia radial” al centro, o dicho en otros términos, no es aplicable la relatividad.

Pero entonces, ¿qué sucede allí, en ese punto donde la distancia r=2GM/c²?

Primero, pongámosle un nombre a dicha distancia, ya que parece una cantidad trascendente, llamémosla radio de Schwarzchild, R_s. Entonces

R_S=2GM/c²,

de acuerdo.

La energía potencial gravitatoria, nos enseña la física newtoniana, depende justamente de la distancia r al centro de la masa M, en la forma de

U=-GMm/r

El signo negativo sugiere el hecho de que dicha energía es de atracción, y que la misma se hace cero en el infinito, donde sería máxima. Si imaginamos un fotón de luz, su energía es

E=mc²

De la cual

E_c=mc²/2

Sería su energía cinética, de ahí que su masa podría calcularse

m=2E_c/c²

Un fotón que se encontrara en R_s tendría una energía potencial gravitatoria

U=-GM2E_c/c²R_s

Luego, de acuerdo al valor de R_s, tendríamos al sustituir arriba que,

U=-GM2E_cc²/2GMc²

Lo que nos da que

U=-Ec

O sea, a partir del radio de Schwarzchild, R_s, hay tanta energía potencial de atracción, como energía cinética puede tener un fotón de luz, es decir, la luz no tiene energía suficiente para vencer la atracción gravitatoria de la masa M y queda atrapada allí. Esto es, ni más ni menos, que la definición de agujero negro.

Pero volvamos al comienzo de la cuestión, la compacidad

u=GM/rc²

ella nos dice qué tan compacto es un objeto estelar y, por otro lado, sabemos que nada puede ser más compacto que un agujero negro, pues a partir del radio de un agujero negro, su gravedad es tan fuerte que no puede escapar siquiera la luz y en consecuencia para la misma masa M no puede existir ningún objeto cuyo radio sea menor que R_s. Por lo tanto la compacidad de un agujero negro es la máxima posible para cualquier objeto físico relativista. Sustituyamos entonces en la definición de compacidad, el radio de Schwarzchild R_s.

u=GMc²/2GMc²=0.5

O sea, la compacidad de un agujero negro es 0.5, la máxima compacidad posible para cualquier objeto relativista.