¿Por qué se usa una bobina superconductora para generar el campo magnético más grande del mundo y no una bobina de cobre?
1. ¿Qué diámetro debería tener un cable de cobre para generar el campo de 45 Teslas?
En Tallahassee, Florida, está el imán más potente del
mundo. Genera un campo magnético de 45 Teslas a partir de una corriente de
47000 Amperes que recorre un bobinado superconductor. Para hacerse una idea de
qué tan monstruoso es este campo magnético tengamos presente que el campo
magnético de la Tierra acá, en Uruguay, es de 0.000022 Teslas. El campo
magnético generado por un imán en un acelerador de partículas como el que se
encuentra en Buenos Aires, el Tandar, puede llegar a valer 1.3 Teslas.
El campo magnético en el interior de una bobina de N espiras
y L metros de largo es
B=μ0nI 1‑1
Con n=N/L y la constante de permeabilidad magnética μ0=4∙π∙10-7Tm/A.
Ahora supongamos que tenemos un campo magnético B=45Teslas
generado por una corriente I=47000Amperes. La pregunta es, ¿cuántas espiras por
unidad de longitud se precisan?
Despejando n tenemos
n=B/μ0I ‑1‑2
Esto es
n=45/4∙π∙10-7∙47000 = 762 espiras/m
Evidentemente, para obtener semejante corriente eléctrica no
es posible usar ningún material conductor, ya que su diámetro para no
derretirse por el calor debería ser enorme. Calculémoslo para el caso de usar
un cable común de cobre.
Lo primero que debemos preguntarnos es, ¿Cuánto calor es
posible para el cobre soportar antes de derretirse? O sea, ¿cuál es su calor de
fusión? A ver, la temperatura de fusión del cobre es 1085°C=1358K. O sea, que para aumentarle la temperatura
desde el valor ambiente, 20°C, hasta su temperatura de fusión, 1085°C, hay que
entregarle una cierta cantidad de calor. Supongamos que queremos mantener el
aparato encendido durante una hora. Entonces debemos averiguar cuánta energía
debe liberar por efecto Joule en un tiempo de 3600 segundos para que la
cantidad de calor recibida por el cobre sea la necesaria para elevarle la
temperatura hasta 1085°C. Para ello sabemos que
E=RI2t ‑1‑3
Donde tenemos la intensidad de corriente (47000 Amperes) y el
tiempo t (3600 segundos). Si estamos hablando de 762 espiras por metro,
calculemos que tenemos una longitud de bobina de unos 10cm=0.10m. Esto nos da
76.2 espiras de cobre. Si las espiras tienen un radio de 10cm, la longitud del
alambre de cobre será de
L=76.2∙2∙π∙r=76.2∙2∙π∙0.10=47.9 metros
O sea, tenemos un cable de cobre de 47.9 metros de largo.
Por otro lado sabemos que la resistencia del cable es
R=ρ∙L/S ‑1‑4
Siendo S=π∙rCu2
su sección (rCu es el radio del alambre de cobre, no confundir con
el radio r de la bobina).
La
resistividad del cobre es ρ0=1.68∙10-8Ωm (este es el
valor a 20°C, y es sabido que la resistividad aumenta de acuerdo a la
temperatura de acuerdo con la ecuación ρ=ρ0(1+α∙ΔT)). Para poder
calcular correctamente, debemos conocer el factor α, cuyo valor para el cobre
es α=0.00393°C-1. Luego, para tener R,
R=ρ0(1+αΔT)L/πrCu2 1‑5
Y, colocando esto en la ecuación 3
E=
ρ0 I2t
(1+αΔT)L/πrCu2 1‑6
La densidad del cobre es 8960 Kg/m3 mientras que
su calor de fusión es 13.1 kJ/mol, un mol de átomos de cobre tienen una
masa de 63 gramos. O sea, que se necesitan 13100 Joules para “derretir” 63
gramos de cobre. Si tomamos esta energía como la necesaria para derretir el
conductor, podemos despejar el radio que debería tener el alambre de cobre,
como mínimo, para no ser derretido (o sea, el radio debería ser mayor que el
que obtengamos para que eso no suceda). Sustituyamos en 1-6
13100=1.68x10-8x452x3600(1+0.00393x1065)x47.9/πrCu2
Haciendo
los cálculos para reducir esto
13100=3.04x101/πrCu2
Despejando
rCu
rCu=(30.4/π∙13100)1/2=2.7cm
Este
número puede parecer muy pequeño, pero es un “alambre” de cobre de 5.4
centímetros de diámetro que debería ser enrollado de tal forma que diera 76
vueltas a lo largo de una longitud de 48 centímetros aproximadamente… una
locura, algo literalmente impracticable, además cada vuelta debería tener 20
centímetros de diámetro. Y todavía, aún así, el cobre se derretiría en estas
condiciones. Por eso es que no es posible usar alambres conductores para
producir semejantes corrientes eléctricas y tales campos magnéticos monstruosos
y es necesario usar, necesariamente, materiales superconductores, cuya
producción de calor sea bajísima, para no producir esos incendios que
seguramente se producirían de usar conductores comunes.
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