Los puntos de Lagrange, donde las cosas pueden estar lejos en el espacio, pero en reposo con respecto al Sol y a la Tierra... a la vez.
Los puntos de Lagrange, inicial.
1. El escenario
Tenemos dos cuerpos muy masivos (por ejemplo, el Sol y la Tierra) que orbitan su centro de masas común y queremos saber dónde
puede ubicarse un tercer cuerpo pequeñísimo (una nave, un asteroide, un
telescopio) que “acompañe” el movimiento sin ser arrastrado ni caerse hacia
ninguno. Ese es el problema que se nos plantea, iniciemos la solución.
2. Marco de
referencia
Si el “cuerpito” acompaña el movimiento del sistema
Sol-Tierra, entonces está en reposo con respecto a dicho sistema. Esto significa
que necesariamente el cuerpito deba estar en equilibrio dinámico en la, o las
configuraciones halladas. Como, además, queremos que el cuerpito (satélite,
asteroide, lo que sea) esté en reposo con respecto a la Tierra, su equilibrio
debe ser calculado desde ese marco de referencia. Para poder hablar de
equilibrio, hay que mirar el sistema
desde un marco que gira con la Tierra alrededor del Sol. En ese marco
rotante, el Sol y la Tierra parecen quietos, pero aparece una fuerza ficticia: la centrífuga. Además, si el cuerpo se
mueve un poco, también aparece la fuerza de Coriolis, pero por ahora la ignoramos (solo buscamos los puntos
donde no haya movimiento y la fuerza de Coriolis depende de la velocidad del
cuerpito, o sea, no existe fuerza de Coriolis si el cuerpito está en reposo con
respecto al marco de referencia en rotación).
3. Fuerzas
reales y ficticias
Sobre el
cuerpo de masa m actúan:
- Atracción gravitatoria del Sol:
dirigida hacia el Sol. - Atracción gravitatoria de la
Tierra:
dirigida hacia la Tierra. - Fuerza centrífuga:
dirigida hacia afuera del eje de rotación del sistema.
El
equilibrio se da cuando la suma de esas tres es cero.
4. La idea de
equilibrio rotante
Si el cuerpito está entre ambos cuerpos (punto L₁),
las fuerzas del Sol y de la Tierra tiran en sentidos opuestos, y la
centrífuga compensa la diferencia. Si está más allá de la Tierra (punto L₂), ambas atracciones apuntan en la misma dirección (hacia el Sol), y la centrífuga debe ser suficientemente grande como para
equilibrarlas. En el punto L₃
(del otro lado del Sol), sucede algo similar, pero la Tierra y la centrífuga
tiran en sentidos opuestos al Sol.
5. Potencial
efectivo
Podemos
reunir todas esas contribuciones en una sola cantidad llamada potencial
efectivo:
Los puntos
de Lagrange son los lugares donde el gradiente (la “pendiente” del
potencial) es cero entonces esto asegura que no hay fuerza neta.[1]
6. Los cinco
puntos
1. L₁ que está entre el Sol y la Tierra
(la gravedad solar y terrestre se oponen).
2. L₂ que está más allá de la Tierra,
donde la centrífuga compensa a la suma de las dos atracciones.
3. L₃ que está del lado opuesto del Sol.
4. L₄ y L₅ que están a los lados de la Tierra,
formando un triángulo equilátero con el Sol y la Tierra; ahí el equilibrio es estable (la gravedad y la fuerza
centrífuga se equilibran vectorialmente).
7. Interpretación física
En L₂, el cuerpo gira alrededor del Sol con la misma velocidad angular que la
Tierra, y aunque está más lejos,
donde normalmente una órbita circular sería más lenta, por eso necesita una fuerza neta mayor hacia afuera
(centrífuga) para “seguir el ritmo”, y esa fuerza proviene de la rotación del
marco y equilibra la suma de los tirones del Sol y la Tierra.
Por eso los telescopios como JWST se estacionan
allí: no están “quietos” en sentido inercial, sino en equilibrio dinámico en el
marco en rotación.
L1: (0.990026677, 0.000000000) AU
L2: (1.010034033, 0.000000000) AU
L3: (-1.000001251, 0.000000000) AU
L4: (0.499996997, 0.866025404) AU
L5: (0.499996997, -0.866025404) AU
Marco rotante y potencial efectivo
Tomamos un marco que gira con
velocidad angular igual a la de
la órbita Tierra–Sol. En ese marco, el Sol (masa M1) y la Tierra (masa M2) están fijos en el eje x,
separados por a.
Conveniencia estándar
·
Barycentro se
ubica en el origen del sistema de coordenadas.
· Posiciones fijas del Sol y la Tierra
· Distancias a la partícula (ubicada en x,y,z),
El Potencial efectivo (gravedad + centrífuga) es:
En el marco de referencia en rotación, las
ecuaciones son:
Los puntos de Lagrange, que son los puntos de equilibrio estático en el marco rotante deben verificar las condiciones
∇Φ=0.
(Como la
aceleración de Coriolis aCoriolis es proporcional a la velociad
radial del punto ṙ (dr/dt), aCoriolis∝ṙ, la fuerza de Coriolis no interviene en la posición
de L₁…L₅, pero sí en la dinámica y estabilidad alrededor de los puntos).
Gradiente (componentes)
Con las definiciones de arriba,
Los puntos de Lagrange se obtienen imponiendo estas
tres ecuaciones =0.
Los puntos colineales,
L₁, L₂, L₃ (sobre el eje Sol–Tierra), en
el eje: y=z=0. Entonces
∂Φ/∂y=∂Φ/∂z=0 se
satisfacen trivialmente, y queda una sola ecuación escalar:
Sus tres raíces
reales sobre el eje dan L₁ (entre Sol y Tierra), L₂
(más allá de la Tierra) y L₃ (del lado opuesto del Sol). No
tiene solución cerrada en forma elemental (reduce a un quintico); en la práctica se resuelve con Newton
1D.
Aproximaciones útiles (para μ≪1, caso Sol–Tierra):
·
Distancias desde
la Tierra:
(L₁ hacia el Sol; L₂ hacia fuera).
· Desde el Sol, L3 está aproximadamente en
Triangulares L₄ y L₅ (equiláteros)
Imponiendo ∇Φ=0 con z=0 y r1=r2=a, se obtiene la condición de triángulo equilátero. En coordenadas del baricentro:
¿Y Coriolis dónde entra?
·
Para
ubicar L₁…L₅: no entra, porque r˙=0 en el equilibrio.
·
Para la
dinámica cerca del punto
(perturbaciones pequeñas), sí aparece en las ecuaciones linealizadas:
donde ξ es la desviación y H
es la matriz Hessiana de Φ
evaluada en Li.
Ese término giroscópico (Coriolis) es clave:
o
En L₁–L₂–L₃
la linealización da un punto silla (inestables).
o
En L₄–L₅
hay estabilidad condicionada: estable si
μ<μR≃0.03852
(criterio de Routh).
Para Sol–Tierra μ≈3×10−6≪μR ⇒ L₄ y L₅
estables (con libraciones tipo troyanas).
Cómo resolverlos en la práctica (rápido)
1. Se fija G,M1,M2,a,ω.
2. Se define f(x)=∂Φ/∂x con y=z=0. Se buscan las raíces:
o
en (− ∞, −(1−μ)a) ⇒ L₃,
o
en (−(μ)a, (1−μ)a) ⇒ L₁,
o
en ((1−μ)a, ∞) ⇒ L₂.
El método de Newton 1D funciona bien usando como semilla
las aproximaciones cúbicas. Se trata, obviamente, de métodos iterativos.
3.
Para L₄/L₅, se usan directamente las coordenadas analíticas dadas.
Mapa del potencial efectivo de Roche.
Los puntos de Lagrange
y la órbita de la Tierra. Hay que imaginar toda la figura rotando alrededor del
Sol como si fuera un objeto compacto, al moverse la tierra en la órbita, los
cinco puntos L1, L2, L3, L4 y L5 se mueven con ella.
Agrego otro artículo, en pdf, un poco más completo.
👇
[1] Recordar de los estudios de Mecánica
que F=-∂U/∂r para cualquier forma de energía U
potencial que depende de r.
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