Siempre lo llamamos principio de incertidumbre, pero tal vez no es ese el mejor nombre.

 

Principio de indeterminación

Primero aclaremos por qué principio de indeterminación y no principio de incertidumbre, si normalmente este se conoce con el segundo nombre.

Porque este principio, en realidad, no se refiere a magnitudes físicas medibles, sino a ciertos entes matemáticos, los operadores que, aplicados a la función de onda Ψ, permiten obtener los posibles valores de las diferentes variables representadas por esos operadores, con una cierta probabilidad dada, a su vez, por la cantidad │Ψ│² obtenida en los puntos considerados. Me dirán que esto es sumamente abstracto. Pues sí, es que la Mecánica Cuántica que se ha construido, para poder explicar aquellos procesos, fenómenos y objetos presentes en las escalas atómicas, subatómicas y aún menores, debió recurrir a conceptos y herramientas matemáticas abstractas y, en consecuencia, alejadas de lo que es la experiencia cotidiana de cualquier humano.

Resulta que de alguna manera, estas entidades, los operadores, para ser útiles a los científicos, deben relacionarse con aquellas magnitudes que sí podemos medir directamente con instrumentos, única forma que conocemos de describir lo que llamamos el mundo físico. Obviamente, los operadores no representan nada en ese mundo, pues son entelequias abstractas, y la herramienta que los físicos encontraron para poder asociarlos a propiedades medibles del “mundo real” fue aplicarlos (a los operadores) a una función onda Ψ. Así, estas transformaciones daban como resultado magnitudes medibles experimentalmente.

¿Qué dice entonces el principio de indeterminación? Pues, como estos operadores poseen una serie de propiedades específicas que los convierten en una herramienta idónea, también tienen la rara propiedad de que algunos pares de operadores no conmutan. O sea, hay operadores conmutables entre sí, y otros que no lo son. Esto significa, ni más ni menos, que si tenemos dos operadores A y B y hacemos el producto A∙B, resulta que el producto B∙A no da el mismo resultado. Entonces, para los operadores hay una operación que es

[A,B] = A∙B - B∙A.

Esta operación es el conmutador. Si tengo dos operadores A y B, al hacer la operación señalada arriba le estoy aplicando el conmutador.

Es así que resulta que si dos operadores A y B conmutan, su conmutador da cero, en cambio si no conmutan, su conmutador da diferente de cero. Entonces decimos que

Si [A,B] = 0, A y B conmutan.

Si [A,B] ≠ 0, A y B no conmutan.

El principio de indeterminación dice que, para los operadores que no conmutan, se cumple que

Aquí corresponde volver sobre el punto de cómo esos operadores se “transforman” de alguna manera en magnitudes medibles. Eso es lo que está precisamente representado del lado izquierdo de la inecuación, en tanto los operadores mismos están del lado derecho. O sea, ΔA y ΔB son en realidad las desviaciones estándar de dichos observables en un mismo estado ∣ψ⟩|. Y son estas las magnitudes cuyas incertidumbres necesariamente superan o a lo sumo son iguales que una cierta cantidad.

O sea, el principio de indeterminación se refiere a qué magnitudes físicas “conjugan” (sus operadores no conmutan) y cuál es el valor de su conmutador.

Existe un caso específico que no se refiere específicamente a operadores, y es el caso de la desigualdad correspondiente a

ΔE∙Δt ≥ h/4π

Dado que la variable tiempo no tiene un operador asociado, aunque sí lo tiene la energía.

Concepto	Qué es	Qué representa
Operador hermítico A	Objeto matemático	“La magnitud física que se medirá”
Autovalores de A	Números reales	Posibles resultados de la medición
Autovectores de A	Estados	Estados finales si el resultado es ese autovalor
Resultado de la medición	Un número	Uno de los autovalores (con cierta probabilidad)

Los vectores son el operador aplicado a la función de estado Ψ, que en los hechos es la función de onda.

El operador de cantidad de movimiento 

 se aplica a la función de onda 

 y de aquí se obtienen los autovectores de 

  en el estado 

Estos autovectores dan los autovalores de 

, uno de los cuales será el número resultado de la medición, con una cierta probabilidad dada por .

Esto nos está marcando que si bien el principio es de indeterminación aplicado a operadores no conmutativos, a través de la teoría de la medida, esto se refleja precisamente en las mediciones asociadas a esos operadores salvo, como dije, en el caso de la indeterminación de energía y tiempo, que tiene otro origen.

Entonces, aquí va la tabla de los distintos tipos de indeterminación que se encuentran más comúnmente en Mecánica Cuántica, como resultado de este principio.