Cosmología. Una deducción de las ecuaciones de Friedmann, las que determinan la imagen cosmológica del universo.
Deducción de las ecuaciones de Fridman para la
métrica FRW cosmológica (sin constante cosmológica)
Utilizando un programa de cálculo para hallar, dada una
métrica, los simbolos de Christoffel, el tensor de Riemann, el tensor de Ricci
y el escalar de Ricci, a partir de sus resultados se calculan las ecuaciones
que rigen a un espacio tiempo descrito por dicha métrica. Estas ecuaciones son
las ecuaciones de Friedmann, por ser quien las calculó por primera vez. Aquí se
presenta la deducción en las condiciones señaladas arriba.
===
FRW (simbolico) ===
Coordenadas:
(t,r,theta,phi), firma (-,+,+,+)
ds^2=-dt^2
+ a(t)^2[ dr^2/(1-k r^2) + r^2 dtheta^2 + r^2 sin^2(theta) dphi^2 ]
g:
g_tt=-1, g_rr=a^2/(1-k r^2), g_thetatheta=a^2 r^2, g_phiphi=a^2 r^2
sin^2(theta)
Notacion:
adot=da/dt, addot=d2a/dt2
Christoffel
no nulos:
Gamma^t_{rr}= a*adot/(1-k r^2)
Gamma^t_{thet atheta}= a*adot*r^2, Gamma^t_{phiphi}= a*adot*r^2 sin^2(theta)
Gamma^r_{tr}=Gamma^r_{rt}= adot/a, Gamma^r_{rr}= k r/(1-k r^2)
Gamma^r_{thet atheta}= -r(1-k r^2), Gamma^r_{phiphi}= -r(1-k r^2) sin^2(theta)
Gamma^theta_{t theta}=adot/a, Gamma^theta_{r theta}=1/r, Gamma^theta_{phiphi}=-sin(theta)cos(theta)
Gamma^phi_{t phi}=adot/a, Gamma^phi_{r phi}=1/r, Gamma^phi_{theta phi}=cot(theta)
Riemann
(forma compacta):
R_{0i0j}= -(addot/a) g_{ij}, R_{0ijk}=0,
R_{ijkl}=
((adot^2+k)/a^2)(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})
Ricci:
R_{00}=-3 addot/a, R_{0i}=0,
R_{ij}=( addot/a + 2(adot^2+k)/a^2 ) g_{ij}
Escalar:
R = 6( addot/a + (adot^2+k)/a^2 )
Listo.
>>
Traducción de
los resultados obtenidos a la simbología usual:
ds2
= dt2 + a(t)2[dr2/(1-kr2) + r2dθ2+r2sen2θdφ2]
g: gtt=
-1, grr= a2/(1-kr2), gθθ =a2r2, gφφ= a2r2sen2θ
Símbolos de
Christoffel no nulos
Γtrr = aȧ/(1-kr2)
Γtθθ = aȧr2
Γtφφ = aȧr2sen2θ
Γrtr = Γrrt
= ȧ/a
Γrrr = kr/(1-kr2)
Γrθθ = -r(1-kr2)
Γrφφ = -r(1-kr2)sen2θ
Γθtθ = ȧ/a
Γθrθ = 1/r
Γθφφ = -senθcosθ
Γφtφ = ȧ/a
Γφrφ = 1/r
Γφθφ = cotθ
Tensor de Riemann (forma compacta)
R0i0j = -(ӓ/a)gij
R0ijk = 0
Rijkl = ((ȧ2 + k)/a2)(gikgjl-gilgjk)
Tensor de Ricci
R00 = -3ӓ/a Ecuación
1
R0i
= 0 Ecuación
2
Rij = [ӓ/a + 2(ȧ2 + k)/a2]gij Ecuación
3
Escalar de Ricci
R = 6[ӓ/a + (ȧ2 + k)/a2] Ecuación
4
Tensor de
Einstein
Gmn = Rmn
– (1/2)∙R∙gmn Ecuación
5
Donde Rmn es el tensor de Ricci, R es el escalar
de Ricci, Gmn es el tensor de Einstein y gmn son los
coeficiente métricos correspondientes, o coeficientes de la métrica cuyos
índices son los mismos que los del tensor de Ricci. Recordamos que los gmn
son, en sí mismos cada uno, el producto de la doble derivación de una
coordenada (llamémosle Y(y1, y2… yn), siendo n
el número de dimensiones o coordenadas independientes del espacio descrito),
con respecto a las coordenadas X(x1,x2,…xn)
que describen el mismo, u otro espacio, pero que tiene el mismo número de
dimensiones que el primero. Así, por ejemplo, en un espacio de cuatro
dimensiones (como el de la relatividad), compuesto por las coordenadas x0=
ict
x1=
x
x2
=y
x3
=z
que queremos expresar en función de otro sistema de
coordenadas, por ejemplo
y0
=ict
y1
=r
y2
=θ
y3
=φ
los
coeficientes gmn son los productos
gmn
= (dxα/dym)(dxα/dyn)
donde α en el ejemplo va de 0 a 4.
Si ahora insertamos las ecuaciones 1, 2, 3 y 4 en la 5,
obtenemos nuevas ecuaciones, a saber
G00 =Gtt = -3ӓ/a - (1/2) 6[ӓ/a + (ȧ2 + k)/a2](-1)
Gtt = -3ӓ/a + (1/2) 6[ӓ/a + (ȧ2
+ k)/a2] Ecuación
6
G0i = Gti = 0 – (1/2) 6[ӓ/a
+ (ȧ2 + k)/a2](0) = 0 Ecuación
7
(porque
según se ve al inicio, todos los g0i son cero para todo i≠0, o sea,
para todas las coordenadas espaciales)
Además, hay que observar que todos los coeficientes métricos
gij espaciales (que no contienen el índice temporal, 0), son cero
para todo i≠j, siendo diferentes de cero solamente los coeficientes
g11
= grr = a2/(1-kr2)
g22
= gθθ = a2r2
g33
= gφφ= a2r2sen2θ
Esto nos proporciona el siguiente conjunto de ecuaciones, al
tenerlo en cuenta para las Gmn.
G11
= [ӓ/a + 2(ȧ2 + k)/a2]g11
= [ӓ/a + 2(ȧ2 + k)/a2]a2/(1-kr2)
G22 = [ӓ/a + 2(ȧ2
+ k)/a2]g22 = [ӓ/a + 2(ȧ2 + k)/a2]a2r2
G33 = [ӓ/a + 2(ȧ2
+ k)/a2]g33 = [ӓ/a + 2(ȧ2 + k)/a2] a2r2sen2θ
O sea
Grr = [ӓ
a + 2(ȧ2 + k)]/(1-kr2) Ecuación
8
Gθθ = [ӓa + 2(ȧ2 + k)]r2 Ecuación
9
Gφφ = [ӓa + 2(ȧ2 + k)] r2sen2θ Ecuación
10
Ahora
Gµν = 8πGTµν Ecuación
11
--- FRW (comovil) ---
Metrica: ds2 = -dt2
+ a(t)2[ dr2/(1-k r2) + r2 dθ2
+ r2 sin2θdφ2 ]
umu = (1,0,0,0), umu = (-1,0,0,0)
Forma mixta (diag): Tμν = diag(-ρ, p, p, p)
Forma covariante (con gFRW):
gtt
= -1 Ecuación
12
grr
= a(t)2 / (1 - k r2) Ecuación
13
gθθ
= a(t)2 r2 Ecuación
14
gφφ
= a(t)2 r2 sin2θ Ecuación
15
Componentes:
Ttt = ρ Ecuación
16
Trr = p * grr Ecuación
17
Tθθ
= p * gθθ Ecuación
18
Tφφ
= p * gφφ Ecuación
19
Entonces
calculamos las ecuaciones que nos quedan. En primer lugar tenemos,
Grr=8πGTrr Ecuación 20
Y
ahora sustituimos en la ecuación 20 las ecuaciones 11 y 17, teniendo en cuenta
la ecuación 13 para grr. Nos queda
[ӓ a + 2(ȧ2 + k)]/(1-kr2)= 8πG p a(t)2 / (1 - k r2) Ecuación 21
Hacemos lo
mismo con
Gθθ=8πGTθθ
Volviendo a
sustituir, ahora las ecuaciones 9 y 18, teniendo en cuenta la 14
[ӓa + 2(ȧ2 + k)]r2 = 8πG
p a(t)2 r2 Ecuación 22
Igual para la tercera ecuación,
[ӓa + 2(ȧ2 + k)] r2sen2θ = 8πG p a(t)2 r2 sen2θ Ecuación 23
Tenemos la
ecuación
Gtt=8πGTtt
A la que también le hacemos el mismo
procedimiento, tomando la ec. 6 para Gtt, y la ec.12 y la ec.16 para
completar el miembro derecho
-3ӓ/a + (1/2) 6[ӓ/a + (ȧ2 + k)/a2] ) = -8πG ρ Ecuación 24
Ahora tenemos un conjunto de cuatro ecuaciones, 21, 22, 23 y
24 que podemos operar para simplificar el problema. A partir de una simple
observación, podemos ver que las ecuaciones 22 y 23 son la misma ecuación, ya
que si en la 23 simplificamos el factor sen2θ que aparece en ambos miembros de la igualdad, esta ecuación
se reduce a la 22. Además, en la ecuación 21 está el factor 1/(1-kr2)
que también aparece en ambos miembros, simplificándose. Luego, nuestro sistema
de ecuaciones se va reduciendo a
[ӓ a + 2(ȧ2 + k)] = 8πG p a(t)2 Ecuación
25
[ӓa + 2(ȧ2 + k)]r2 = 8πG
p a(t)2 r2 Ecuación
26
-3ӓ/a + (1/2) 6[ӓ/a + (ȧ2
+ k)/a2] ) = -8πG ρ Ecuación
27
Simplemente observamos que la ecuación 25 y la 26 son
idénticas, ya que el factor que las diferencia, r2, aparece
multiplicando en ambos miembros de la igualdad, con lo que nos quedamos con
sólo dos ecuaciones independientes
[ӓ a + 2(ȧ2 + k)] = 8πG p a2 Ecuación
28
-3ӓ/a + (1/2) 6[ӓ/a + (ȧ2
+ k)/a2] ) = -8πG ρ Ecuación
29
Sólo resta operar un poco más para simplificar estas
expresiones.
Pasando en la 28, a2 al miembro izquierdo y
tomando en cuenta que (ȧ/a)= H, la constante de Hubble (o sea que (ȧ2/a2)=
H2).
ӓ/a+ 2H2
+ 2k/a2 = 8πGp Ecuación
30
Ahora tomamos la ecuación 29 y en ella
hacemos simplificaciones numéricas y notamos que el término ӓ/a se simplifica
-ӓ/a + [ӓ/a + (ȧ2
+ k)/a2] ) = -8πG ρ/3
Y entonces encontramos la primera
ecuación de Fridman.
H2
+ k/a2 = -8πG ρ/3 Primera ecuación de Fridman
Luego, tomamos H de esta ecuación, la despejamos tal cual
está al cuadrado y colocamos ese valor
en la ecuación 30
ӓ/a- 2k/a2 -8πGρ/3+ 2k/a2 = 8πGp
cancelamos los términos 2k/a2, mientras pasamos el
tercer término al miembro derecho
ӓ/a = 8πGρ/3 + 8πGp
para escribir finalmente
ӓ/a = 8πG(ρ/3
+ p) Segunda
ecuación de Fridman
En los modelos que
incluyen la constante cosmológica Λ, la segunda ecuación de Fridman queda
ä/a = (4πG/3)(ρ + 3p) + Λ/3 Segunda ecuación de Fridman con Λ
Para
la primera ecuación de Fridman, cuando se incluye la constante cosmológica,
aquella cambia así
H2 +
k/a2 = -8πG ρ/3+ Λ/3
O
H2 + k/a2 = -8πG/3(ρ - ρΛ) Primera ecuación de Fridman con Λ
A
partir de la primera ecuación de Fridman se puede ver lo siguiente. Primero, la
curvatura k de ese espacio es determinada, así como la constante de Hubble, por
dos factores críticos, la densidad de energía de la materia ρ, y la densidad
de energía de la constante cosmológica, ρΛ. Además se observa
claramente que ambas densidades de energía tienen efectos opuestos. Mientras
que ρ tiende a disminuís la curvatura k y la constante de Hubble H, debido al
signo negativo (a mayor ρ, más negativa la suma H2 + k/a2),
con la densidad de energía correspondiente a la constante cosmológica ρΛ
ocurre lo contrario, cuanto más crece, más aumenta la suma anterior. Esto es lo
razonable que se podría esperar de la solución de la métrica
Fridman-Robertson-Walker para un universo con constante cosmológica, como es el
nuestro, según las mediciones de la velocidad de expansión hechas en 1998 y que
demostraron que la misma crece. Pero el problema insalvable para esta métrica
es que H no presenta un valor único, las mediciones de la constante de Hubble dan
74.2 Km/sMpc y 67.3 Km/sMpc según el método de medición que se utilice, o de
acuerdo a la escalera de distancias basada en las explosiones de supernovas IA,
o de acuerdo a la interpretación del fondo cósmico de microondas CMB. Esta
diferencia, que parece no tan grande, sí lo es desde que los márgenes de
incertidumbre hacen que ambas medidas no se solapen, lo que las convierte en
dos resultados necesariamente diferentes. Pero si H tiene dos valores
diferentes, dependiendo del modelo que se use para calcularla, las
posibilidades parecen claras
·
O H no es
constante, menudo problema para determinar la métrica del espacio entonces, hay
que revisar todo el modelo y, como se vio a partir del cálculo hecho, solamente
uno de los tantos cálculos que hay que hacer para tener un modelo del universo,
es realmente muy arduo (aún con computadoras, que son las que lo hacen posible,
ya que sin ellas se tardaría años en resolver quizás una de la miríada de
ecuaciones que componen una Cosmología del universo.
·
O hay que revisar
el método de medición, ya sea que haya que cambiar algo en el método de la
escalera de distancias, especialmente en cuanto a las propiedades de las
supernovas IA, lo que implica una diferente interpretación física de las
mismas, lo que podría llevar a un replanteo de todo el modelo de formación
estelar. Menudo problema.
·
O la
interpretación hecha sobre los primeros trescientos millones de años del
universo y el cómo y el por qué del fondo cósmico de microondas no es correcta.
En
cualquier caso, algo habrá que hacer, porque ese es un problema presente y no
resuelto, que pone en duda todo el modelo.
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