Una vez que ya sabemos que la evolución de una estrella puede terminar de diferentes formas,

1. Como enana blanca

2. Como estrella de neutrones

3. Como agujero negro

Y cuando ya conocemos qué condición debe cumplirse para que una estrella, al llegar al final de su vida, quede reducida a una enana blanca, este es el límite de Chandrasekhar, queda por averiguar la condición que hará que una estrella que no acaba como enana blanca termine siendo una estrella de neutrones o un agujero negro. Para intentar averiguar dicha condición se usa el límite Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV). Una estrella que ha superado el límite Chandrasekhar, pero que está por debajo del límite TOV, acabará siendo una estrella de neutrones. En cambio, una estrella que, habiendo superado el límite Chandrasekhar, también supere el límite TOV, acabará en agujero negro. Este límite, hallado por Robert Oppenheimer y George Volkoff en 1939, basados en un trabajo previo de Richard Tolman, últimamente ha quedado un tanto en duda, dada la aparición de nuevos objetos estelares, como los magnetares, que podrían ubicarse en el entorno o entre posibles candidatos a evolución estelar tardía. Actualmente, las estimaciones varían desde 2.5 masas solares a 20 masas solares para que una estrella no colapse como estrella de neutrones y sí lo haga como agujero negro.

La dificultad del cálculo del límite TOV podemos sospecharlo haciendo simplemente un análisis superficial de qué condiciones requiere un agujero negro para formarse. A partir de la relatividad general se sabe que, de acuerdo a los cálculos de Schwarzschild, el radio que debe tener un agujero negro está relacionado con su masa

R_Sc=2GM/c²

De tal manera que, en principio, no se puede hablar de un “radio” de un agujero negro, pues este no es de un valor único ya que depende de la masa de la estrella que colapsa.

Así dadas las cosas, lo que queda es averiguar cuál es el límite TOV.

i. Introducción

El estudio del límite TOV (Tolman–Oppenheimer–Volkoff) constituye uno de los pilares de la astrofísica relativista moderna. Este límite establece la masa máxima que puede sostenerse en equilibrio hidrostático por la presión de degeneración de neutrones, antes de colapsar inevitablemente en un agujero negro. Su relevancia no es meramente teórica: constituye un puente entre la Relatividad General, la física nuclear y la observación de objetos compactos como púlsares y estrellas de neutrones.

El análisis del problema requiere combinar tres elementos fundamentales: 1) las ecuaciones de estructura estelar relativista (ecuaciones TOV), 2) la condición de compacidad máxima impuesta por la relatividad general (límite de Buchdahl), y 3) las restricciones físicas de causalidad en la ecuación de estado de la materia ultradensa (cota de Rhoades–Ruffini[1]). Estos marcos teóricos permiten establecer cotas superiores para la masa y el radio de estrellas compactas, incluso sin necesidad de realizar una integración numérica detallada.

b. Integración de la Ecuación TOV

La ecuación de Tolman–Oppenheimer–Volkoff (TOV) describe el equilibrio hidrostático de una estrella esférica compuesta por materia relativista. Es la extensión relativista de la ecuación de equilibrio de una estrella de Newton.

ii. Sistema de Ecuaciones TOV

Las ecuaciones principales que componen el sistema TOV son:

1. Ecuación de equilibrio hidrostático relativista:

dP(r)/dr = -G [ρ(r) + P(r)/c²] [m(r) + 4πr³P(r)/c²] / [r² (1 - 2Gm(r)/rc²)]

2. Ecuación de masa acumulada:

dm(r)/dr = 4πr²ρ(r)

iii. Condiciones Iniciales

Para resolver estas ecuaciones se necesita:
- Una ecuación de estado que establezca la relación entre la presión y la densidad del gas que compone la estrella (relación entre P y ρ).
- Condiciones en el centro de la estrella:
- la masa en el punto central deberá ser nula, m(r=0) = 0 (esta condición no necesariamente se ha de cumplir, si es el caso de que la presión es de la forma P=kρ^γ, pues implicaría que la densidad debería ser nula para que lo sea la masa, pues esta depende proporcionalmente de la densidad. Por lo tanto, ese punto, r=0, no ha de ser un punto “alcanzable” desde el cálculo. De hecho, es la singularidad, o sea el punto donde no es posible aplicar las leyes conocidas.
- la presión en dicho punto no necesariamente lo será, P(r=0) = P_c(presión central)

iv. Método de Integración

Se integra numéricamente desde r = 0 hacia afuera hasta que la presión cae a cero, lo cual define el radio de la estrella R. En ese punto, la masa total es M = m(R).

Este sistema se puede resolver con distintas ecuaciones de estado. En un paso siguiente se utiliza un modelo polytrópico del tipo P = Kρ^γ para integrar el sistema y analizar el perfil de masas y presiones dentro de una estrella compacta, ya que es necesario para modelar el comportamiento del gas de partículas relativistas presentes en el interior de la estrella.

c. Compacidad

En relatividad estelar, la compacidad mide cuán concentrada está la masa de un objeto en relación con su radio. Se define como:

u = GM/(Rc)²

donde:

G = constante de gravitación,
M = masa del objeto,
R = radio de la estrella,
c = velocidad de la luz.

Cómo interpretarla. Pues es un número adimensional (sin unidades). Cuanto más grande sea, más fuerte es el campo gravitatorio en la superficie.

Por ejemplo:

· El Sol tiene una compacidad u∼2×10−⁶ (muy poco compacto).

· Una estrella de neutrones típica: u∼0.2.

· Un agujero negro (horizonte de Schwarzschild) tiene u=0.5.

v. Límite de Buchdahl

La Relatividad General impone que, para una esfera de materia estable y razonable, debe cumplirse:

u<4/9≈0.444

Si la compacidad supera ese valor, ya no puede mantenerse en equilibrio hidrostático entonces el objeto colapsa en un agujero negro.

En resumen: la compacidad es la medida de cuán cerca está un objeto de convertirse en agujero negro.

d. Cota de Rhoades–Ruffini o cota causal

La cota de Rhoades–Ruffini es un límite teórico máximo para la masa que puede tener una estrella de neutrones estable antes de colapsar a un agujero negro.

Contexto

· En 1974, Clifford Rhoades y Remo Ruffini analizaron el problema de la masa máxima admisible para una estrella de neutrones bajo Relatividad General y ciertas hipótesis sobre la materia densa.

· El gran obstáculo es la ecuación de estado (EOS) a densidades supranucleares, que no se conoce con precisión.

· Para eludir esa incertidumbre, impusieron condiciones muy generales: (i) causalidad (la velocidad del sonido no excede la de la luz) y (ii) equilibrio hidrostático relativista dado por las ecuaciones TOV.

Resultado

· Bajo esas condiciones, y sin depender de los detalles microfísicos por encima de la densidad nuclear, demostraron que la masa máxima está acotada por:

M_max ≤ 3.2 M☉

Importancia

· Este límite es independiente de la forma exacta de la EOS a altas densidades, siempre que se respete la causalidad.

· Las EOS realistas típicamente predicen masas máximas menores (≈ 2.0–2.3 M☉), en línea con los púlsares más masivos observados (~2.1 M☉).

· La cota de Rhoades–Ruffini actúa como un límite superior absoluto útil como referencia en astrofísica relativista.

e. Origen y deducción de la solución de Schwarzschild

vi. Punto de partida: Las ecuaciones de Einstein

G_μν = R_μν - (1/2)·R·g_μν + Λ·g_μν = 8π·T_μν

- G_μν: tensor de Einstein, que describe la curvatura del espaciotiempo.

- R_μν: tensor de Ricci.

- R: escalar de Ricci.

- g_μν: métrica del espaciotiempo.

- Λ: constante cosmológica (vale 0 en el caso Schwarzschild).

- T_μν: tensor energía-momento (vale 0 en vacío).

vii. Número de ecuaciones

- Tanto G_μν como T_μν son tensores simétricos de rango 2.

- En 4 dimensiones (espacio-tiempo) tienen 10 componentes independientes.

- Por tanto, el sistema completo de las ecuaciones de Einstein contiene 10 ecuaciones en derivadas parciales.

viii. Cómo se construyen esas ecuaciones

Para obtener G_μν, se deben calcular:

1. Los símbolos de Christoffel:
Γ^ρ_μν = (1/2)·g^ρσ·(∂_μg_σν + ∂_ν g_σμ - ∂_σ g_μν)

2. El tensor de Riemann: R^ρ_σμν, a partir de los Γ^ρ_μν.

3. El tensor de Ricci:
R_μν = R^ρ_μρν

4. El escalar de Ricci:
R = g^μν·R_μν

Finalmente, se combinan para formar el tensor de Einstein G_μν.

ix. Cantidad de símbolos de Christoffel

- En un espacio 4D hay 4³ = 64 combinaciones.

- Debido a la simetría Γ^ρ_μν = Γ^ρ_νμ, hay 40 símbolos independientes.

- Estos son necesarios para calcular R_μν y G_μν.

x. Caso Schwarzschild

La solución a la que llegó Schwarzchild en 1917 del tensor de Einstein G_μν fue planteada para un espacio-tiempo vacío en el que se encuentra únicamente la masa M y considerando cómo ésta actúa a una distancia suficientemente lejana de su centro. Este espacio-tiempo es isótropo y homogéneo, además de vacío, por lo cual las condiciones para el mismo son:

- Espacio-tiempo estático, esféricamente simétrico.

- En vacío (T_μν = 0).

Entonces se asume la siguiente forma ansatz[2] (simplificadora) de la métrica:
ds² = -A(r)·c²·dt² + B(r)·dr² + r²·(dθ² + sin²θ·dφ²)
Con esta simetría, muchas componentes de los tensores se anulan o coinciden, lo que reduce las 10 ecuaciones a unas pocas, generalmente 2 o 3 ecuaciones independientes que se pueden resolver.

xi. Conclusión

Resolver las ecuaciones de Einstein para obtener la solución de Schwarzschild implica:

- Resolver 10 ecuaciones en derivadas parciales (las componentes independientes de G_μν).

- Estas requieren los 40 símbolos de Christoffel independientes.

- En presencia de simetrías (como en Schwarzschild), el sistema se simplifica enormemente.

La solución de Schwarzschild es una de las pocas soluciones exactas y analíticas completas a las ecuaciones de Einstein en 4D, y describe el campo gravitatorio exterior a una masa puntual o una esfera estática no cargada.

2. Deducción del Radio de Schwarzschild

f. Contexto: ¿Qué es la solución de Schwarzschild?

Es la única solución esféricamente simétrica y estática del vacío de las ecuaciones de Einstein, es decir, del espacio-tiempo fuera de una masa esférica. La métrica de Schwarzschild es:

ds² = -(1 - 2GM/rc²)c²dt² + (1 - 2GM/rc²)^-1dr² + r²dθ² + r²sin²θ dφ²

g. Derivación del Radio de Schwarzschild

La métrica se vuelve singular cuando 1 - 2GM/rc² = 0, lo cual implica que:

r = 2GM/c²

Este valor de r es el radio de Schwarzschild, R_s = 2GM/c², que representa el horizonte de eventos.

h. Interpretación Física

Cuando r = R_s, el coeficiente temporal se anula y el radial diverge (o sea, como cantidad real, medible, deja de existir). Esto significa que, para un observador lejano, cualquier objeto que alcance este radio parece detenerse en el tiempo. Pero para el objeto que cae, atraviesa el horizonte y continúa hacia la singularidad en r = 0.

i. Derivación Heurística (Clásica)

También se puede derivar considerando la energía de escape clásica: E = (1/2)mv² - GMm/r = 0. Para v = c, obtenemos:

1/2 mc² = GMm/r => r = 2GM/c²

Figura: Comportamiento de g_tt en función del radio. En r = R_s = 2GM/c² se anula (g_tt es el componente temporal “puro” de la métrica).

xii. Integración de la Ecuación TOV

j. Sistema de Ecuaciones TOV

Las ecuaciones principales que componen el sistema TOV son:

1. Ecuación de equilibrio hidrostático relativista:

dP(r)/dr = -G [ρ(r) + P(r)/c²] [m(r) + 4πr³P(r)/c²] / [r² (1 - 2Gm(r)/rc²)]

2. Ecuación de masa acumulada:

dm(r)/dr = 4πr²ρ(r)

k. Condiciones Iniciales

Para resolver estas ecuaciones se necesita:
- Una ecuación de estado (relación entre P y ρ).
- Condiciones en el centro estelar:
- m(r=0) = 0
- P(r=0) = P_c (presión central)

l. Método de Integración

Se integra numéricamente desde r = 0 hacia afuera hasta que la presión cae a cero, lo cual define el radio de la estrella R. En ese punto, la masa total es M = m(R).

Este sistema se puede resolver con distintas ecuaciones de estado. En el próximo paso, utilizaremos un modelo polytropico del tipo P = Kρ^γ para integrar el sistema y analizar el perfil de masas y presiones dentro de una estrella compacta.

xiii. Script TOV Automatizado - Exploración por Densidad Central

Este cuaderno explora la solución de las ecuaciones TOV (Tolman–Oppenheimer–Volkoff) utilizando una ecuación de estado politrópica. Se evalúa para un rango de densidades centrales ρ₀, obteniendo para cada una de ellas: masa total M, radio estelar R, radio de Schwarzschild R_s y la relación R_s/R.

a. Búsqueda del Límite TOV - Automatizado

Es un archivo de búsqueda automática del valor crítico de densidad central (ρ₀) para el cual una estrella soportada por la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) colapsa en un agujero negro. El criterio de colapso se basa en que el radio de Schwarzschild supera o iguala el radio estelar (R_s ≥ R). El código analiza un rango de densidades y guarda los resultados en una tabla.

i. Límite de masa de Landau

Lev Landau también calculó cuál sería la máxima masa que podría tener una estrella de neutrones antes de colapsar en agujero negro. Su cálculo se realizó utilizando estimaciones teóricas razonables acerca de la composición estelar y sin recurrir a las ecuaciones TOV.

Desarrollo matemático del límite de masa de Landau

xiv. Introducción

Lev Davidóvich Landau propuso en 1932 un límite teórico para la masa máxima que puede tener una estrella de neutrones o un núcleo de materia degenerada antes de colapsar gravitacionalmente. Su cálculo está basado en principios fundamentales de la mecánica cuántica y la relatividad.

xv. Hipótesis de partida

• La estrella está compuesta por materia degenerada de fermiones (neutrones) a densidad ultraalta.

• La presión de degeneración contrarresta la gravedad.

• En el límite relativista, la presión proviene de neutrones con energía cinética relativista.

xvi. Paso 1: Presión de degeneración en el límite relativista

La presión de un gas degenerado de fermiones relativistas es:

Donde:
- ℏ: constante reducida de Planck
- c: velocidad de la luz
- n: densidad numérica de partículas (fermiones)

La densidad de masa es:

ρ=mn

Con lo cual la presión se puede escribir como:

P=Kρ^4/3

Esta es la ecuación de estado politrópica con γ = 4/3.

xvii. Paso 2: Equilibrio hidrostático relativista (Ecuación TOV)

La ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) describe el equilibrio en una estrella relativista:

Donde:
- G: constante de gravitación universal
- m(r): masa acumulada hasta el radio r
- P: presión
- ρ: densidad de masa

xviii. Paso 3: Escala de masa típica

Landau propuso que cuando los fermiones (neutrones) se vuelven relativistas, la presión deja de aumentar más rápido que la gravedad. Entonces, se alcanza una masa crítica donde ya no puede mantenerse el equilibrio.

Tomando una estimación dimensional:

Donde:
- m_Pl = (ħ c / G)^1/2 ≈ 2.18×10⁻⁸ kg: masa de Planck
- m_n ≈ 1.67×10⁻²⁷ kg: masa del neutrón

Entonces:

Donde M_ʘ es la masa del Sol.

xix. Conclusión

Este resultado anticipa correctamente que una estrella de neutrones no puede tener una masa arbitrariamente grande. Si su masa excede este límite, colapsará en un agujero negro. Este límite es esencialmente el mismo que luego se obtuvo con los modelos completos de Oppenheimer y Volkoff.

Límite de Masa de Landau para Estrellas Compactas

Lev Davidóvich Landau propuso en 1932 un límite superior para la masa de una estrella soportada por presión de degeneración fermiónica. Este límite anticipa que, más allá de cierta masa, la estrella colapsará irremediablemente al no poder resistir su propia gravedad.

xx. Fundamento teórico

El argumento de Landau se basa en comparar dos energías:
• Energía de degeneración de fermiones relativistas
• Energía gravitatoria de la estrella

La energía total se estima como:

E ≈ E_F + E_G

E_F ≈ (ħ·c·N^1/3) / R

E_G ≈ -G·(M²)/R = -G·m_f²·N²/ R

Para que haya equilibrio (mínimo de energía), se requiere que N no sea demasiado grande. Esto conduce al límite:

M_max ≈ M_P³ / m_f²

donde M_P = √(ħ·c / G) es la masa de Planck.

xxi. Valores usados por Landau

• ħ = 1.055 × 10⁻³⁴ J·s

• c = 3.00 × 10⁸ m/s

• G = 6.674 × 10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻²

• m_f (masa del neutrón) ≈ 1.675 × 10⁻²⁷ kg

• M_P ≈ 2.18 × 10⁻⁸ kg

Al aplicar la fórmula con m_f ≈ masa del neutrón, se obtiene un valor de M_max ~ 1.5 M☉, que se conoce como el Límite de Landau.

xxii. Referencias

• L. D. Landau, 'On the Theory of Stars', Phys. Z. Sowjetunion, 1932.

• L. D. Landau & E. M. Lifshitz, Curso de Física Teórica, Volumen 2: Teoría Clásica de los Campos.

• Shapiro & Teukolsky, 'Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars', 1983.

· Neutron Stars 1, P. Haensel, A. Y. Potekhin, D. G. Yakovlev.

1 Más adelante se detalla qué es y cómo se determina la cota Rhoades-Ruffini.

[2] Un ansatz es una suposición o estimación fundamentada que se hace para simplificar y resolver un problema complejo en matemáticas y física.

¿El sol no puede convertirse en agujero negro?

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